Division Euclidienne
Euclide : (300 av. J.-C.) Le nom de division euclidienne est un hommage rendu à Euclide qui en explique le principe par soustractions successives dans ses Éléments. Mais elle apparaît très tôt dans l’histoire des mathématiques. Caveing en signale la présence dans les mathématiques égyptiennes où il s’agit par exemple de mesurer 30 avec l’unité 7. Par ailleurs, la présence d’un reste a conduit les arpenteurs égyptiens à approfondir le concept de fraction. Une démarche analogue existe dans les mathématiques babyloniennes. On retrouve cette procédure décrite dans les mathématiques chinoises avec un algorithme proche du système actuel consistant à poser une division. Les Chinois ont un mot pour désigner le dividende, le diviseur et le quotient en cours de calcul
La division euclidienne est un outil de base de l’arithmétique. Elle permet de déterminer le PGCD de deux nombres en utilisant l’algorithme d’Euclide.
Elle est à l’origine d’une branche de l’arithmétique, l’arithmétique modulaire, dans laquelle on s’intéresse non pas au quotient de la division de a par n mais à son reste. On dit que deux nombres a et a’ sont congrus modulo n si et seulement s’ils ont même reste dans la division par n. Cette propriété se transmet à la somme et au produit :
si a et a’ ont même reste modulo n et s’il en est de même de b et b’, alors ab a même reste que a’b’ modulo n et a + b a même reste que a’ + b’ modulo n.
Cette transmissibilité permet le développement d’une arithmétique sur les restes et la création d’un ensemble nouveau, l’anneau ℤ/nℤ.